Skup realnih brojeva

Nikada dosta zadataka za vežbanje! Evo materijala za čas sistematizacije gradiva iz teme Skup realnih brojeva. Oznake pored zadataka predstavljaju: O – osnovni nivo; S -srednji nivo; N – napredni nivo. Predviđeno je da učenici rade samostalno, ili u grupi, a svoje zadatke mogu proveriti kroz data rešenja.

Advertisements

Pojam iracionalnog broja

Prezentacija o pojmu iracionalnog broja je namenjena učenicima sedmog razreda koji se prvi put susreću sa ovim pojmom. Zamisao je da se čas organizuje kao „izvrnuta“ učionica, tj. da učenici najpre kod kuće pogledaju prezentaciju i nauče osnovne pojmove, a da se zatim na času radi vežbanje.

Osim kao „izvrnuta“ učionica, materijal se može koristiti i kao prezentacija na času (naravno, uz poštovanje netikecije).

Ukoliko vam se prezentacija dopala i ukoliko je pomogla u učenju, molim vas da ostavite svoj komentar. To bi mi puno značilo, kako bi sledeći post bio bolji. 🙂

Matematika je lukavstvo duha!

Matematika je nauka koja je nastala kao prirodna ljudska potreba da: nešto prebroji, parceliše zemljište, otkrije prirodne zakone…Svestan svoje malenkosti u odnosu na ogromnost i nedokučivost prirode, čovek je morao da nađe način da joj doskoči, da je upozna i objasni. Kako nije mogao da je nadvisi svojom fizičkom snagom, morao je da se dovija i iskoristi snagu i lukavstvo svog uma. Jedan od 7 svetskih mudraca, Tales iz Mileta, imao je to naumu kada je u Egiptu stao oči u oči sa gorostasom poznatim pod imenom Keopsova teorema. Suočen sa izazovom koji je za njega predstavljala nemogućnost da izmeri visinu ovog ogromnog objekta, Tales je došao do teoreme koju učimo u 7. razredu osnovne škole. Divan uvod u ovu teoremu predstavlja romansirana priča Denija Geđa u knjizi Papagajeva teorema. Evo nekih fragmenata te priče:

 

„Oslonjen na brodsku ogradu, Tales je posmatrao kako se udaljava kopno Jonije gde je do tada živeo. Milet je ostao u daljini. Putovao je za Egipat…Pod letnjim vetrovima, koji su duvali jedino leti tokom perioda žege, brod je plovio u pravoj liniji, stigao na domak egipatske obale, uplovio u jezero Mariotis, gde se Tales ukrcao na jednu feluku koja je bila spremn a da krene uz Nil…

Posle nekoliko dana putovanja, prekidanog zastancima u mestima na obali reke, on je opazi. Dizala se usred prostrane zaravni, nedaleko od obale Keopsova piramida! Tales nikad nije video nešto tako impozantno. Dve druge piramide Kefrenova i Mikerinosova uzdizale su se na zaravni; sa strane izgladale su male a ipak…Tokom putovanja Nilom, putnici su ga ipak obavestili. Dimenzije monumenta prevazilazile su sve što je mogao da zamisli. Tales napusti feluku. Što je bio bliži, korak mu je bivao sporiji; kao da je monument, samom svojom masom, uspevao da uspori njegove korake. Poražen, sede. Neki felah, neodređenih godina, čučnu kraj njega. „Znaš li, stranče, koliko mrtvih je stajala ova piramida kojoj se ti, izgleda, diviš?“ „Na hiljade, svakako.“ „Kaži: na desetine hiljada.“ „Na desetine hiljada!“ „Kaži: na stotine hičjada.“ „Na stotine hiljada!“ Tales ga pogleda nepoverljivo. „Još više, možda“, dopunio je felah. „Čemu toliko mrtvih? Za kopanje kanala? Da se zaustavi reka? Podigne most? Sagradi drum? Sazidaju palate? Podigne hram u čast bogova? Otvori rudnik? Nisi ni blizu. Piramidu je podigao faraon Keops s jednim ciljem da primora ljude da shvate sopstvenu malenkost. Zdanje je moralo da premaši svaku granicu da bi nas slomilo: što je gorostasnije, mi smo sitniji. Cilj je postignut. Video sam te da prilaziš i, na tvom licu, video sam kako se ocrtavaju učinci te ogromnosti. Faraon i njegovi arhitekti hteli su da nas prisile da prihvatimo da između ove piramide i nas nema nikakve zajedničke mere!“

Tales je već čuo za takvo razmišljanje o naumu faraona Keopsa, ali nikad tako bestidno i tako precizno iznesena. „Nikakve zajedničke mere!“ Izazivao ga je taj hotimično bezmerni monument. Zdanje sagrađeno, ipak, rukama ljudi, dve hiljade godina već ostajalo je izvan domašaja njihovog saznanja. Kakvi god bili faraonovi ciljevi, bilo je očigledno: visinu piramide bilo je nemoguće izmeriti. Bila je najistkanutija građevina naseljenog sveta i jednina koja nije mogla biti izmerena.

Felah je govorio celu bogovetnu noć. Ono što je ispričao Talesu niko i nikada nije saznao.

Kada je sunce obasjalo horizont, Tales se podigao. Pogledao je svoju senku koja se pružala u smeru zapada; pomislio je da koliko god neki predmet bio mali, uvek postoji osvetljenje koje ga uvećava. Dugo je stajao uspravljen, nepomičan, očiju uprtih u tamnu mrlju koju je njegovo telo bacalo na tle. vide kako se smanjiuje srazmerno uzdizanju sunca na nebu.

Pošto moja ruka nije sposobna da izmeri, to će učiniti moja misao, obećao je sebi. Tales je dugo i usredsređeno posmatrao piramidu; tražio je saveznika ‘po meri’ svog protivnika. Pogled mu je polagano prelazio sa tela na senku, sa senke na telo, potom se zaustavi na piramidi. Najzad, diže oči, sunce je bacalo svoje strašne zrake. Tales je upravo otkrio svog saveznika.

Neka to bude Helije Grka ili bog Ra Egipćana, to sunce koje ne pravi nikakvu razliku među svim stvarima na svetu; ophodi se prema njima na isti način. To će kasnije u Grčkoj, kada je reč o lčjudima, biti nazvano demokratija.

Ophodeći se slično prema sićušnom čoveku i divovskoj piramidi, sunce ustanovljava mogućžnost zajedničke mere.

Tales prodre još dublje u ideju: kako se ja odnosim prema svojoj senci tako se piramida odnosi prema svojoj. Iz toga je izveo sledeći zaključak: u trenutku kada moja senka bude jednaka sa mojim stasom, senka piramide biće jednaka sa svojom visinom! Eto, ideja je nađena. Trebalo je samo još sprovesti je u delo.

Tales nije mogao sam da izvede operaciju, Za nju je bilo potrebno dvoje. Felah je prihvatio da mu pomogne. Možda se doista tako desilo? Ko će to znati?

Sutradan u zoru felah se uputi prema monumentu i sede u ogromnu piramidinu senku. Tales u pesku ocrta krug sopstvenog stasa, stade u njegov centar i ispravi se do kraja. Zatim se usredsredi na vrh svoje senke.

Kada je ova dodirnula kružnicu, naime kada se dužina senke poklopila sa veličinom njegovog stasa, viknuo je prema dogovoru. Felah je tada pojurio i zabo kolac na sam vrh piramidine senke. Tales je potrčao do kolca.

Zajedno, ne prozborivši ni reč, uz pomoć dobro zategnutog konopca, izmerili su rastojanje između kolca i osnove piramide. Kad su izračunali dužinu senke, znali su visinu piramide.

Pesak se dizao pod njihovim koracima, vetar je počeo da duva s juga. Jonjanin i Egipćanin išli su prema obali gde je, u taj čas, pristajala jedna feluka. Vršak piramide iščezao je iz njihovih umornih očiju. Tales skoči u feluku, Na obali, felah se osmehivao. Feluka se udalji.

Tales je bio ponosan. Uz felahovu pomoć, smislio je lukavstvo. Vertikala mi je nedostupna? Domoći ću je se horizontalom. Ne mogu da izmerim visinu zato što seže u nebeske visine? Izmeriću njenu senku prućenu po tlu. Pomoću ‘malog’ izmerići ‘veliko’. Pomoću ‘dostupnog’ izmeriću ‘nedostupno’. Pomoću ‘bliskog’ izmeriću ‘daleko’.

Matematika je lukavstvo duha.“ 

(Tekst je preuzet iz knjige Papagajeva teorema, autor Deni Geđ, izdavać Geopolitika, Beograd, 2002.)

A evo kako u školi učimo ovu teoremu:

Tales iz Mileta

Резултат слика за tales

Tales iz Mileta je prvi Grčki filozof, naučnik, matematičar, državnik ali je po zanimanju bio inženjer. Smatran je za najobrazovanijeg čoveka tog vremena pa je poznat i kao prvi od 7 mudracaRođen je u Miletu koji se nalazio na zapadnoj obali današnje Turske.

 

Živeo je  u periodu od 625 – 547. god. p. n. e. Ono najvažnije što mu matematičari pripisuju, jeste činjenica da je Tales prvi dao logičke temelje dokazivanju teorema. Drugim riječima, Tales je prvi naglasio da nije dovoljno samo opažati pojave, već ih i dokazati. dokazao je  sledeće teoreme:

  • Ugao nad prečnikom kruga je prav.
  • Uglovi na osnovici jednakokrakog trougla su jednaki.
  • Prečnik deli krug na dva jednaka dela.
  • Unakrsni uglovi su jednake.
  • Ako dva trougla imaju jednaka 2 ugla i jedanu stranicu, onda su oni podudarni.

Ove teoreme smo već naučili, a u 7. razredu ćemo saznati i kako se može izmeriti visina nekog objekta uz pomoć senke. I ovo je Talesova zasluga. Do ovog saznanja je došao posmatrajući Keopsovu piramidu. Zadivljen njenom veličinom, kao i nemogućnošću da se izmeri njena visina (139m), došao je na ideju da potraži „saveznika“ u suncu i pomoću štapa i njegove senke je izmerio visinu piramide. Zato se ova teorema koja govori o proporciji dužina naziva Talesova teorema.

Između ostalog, Tales je predvideo pomračenje Sunca koje se dogodilo 584. godine pre nove ere.

Zanimljivosti

  • Zanimala ga je i astronomija. Jednom prilikom je gledajući više u zvezdano nebo nego kuda je hodao, priča se, upao u jamu. Na njegove pozive za pomoć odgovorila je jedna starica koja se tu zatekla i tada ga posavetovala: „Ti ne vidiš ni kuda hodaš, a hoćeš da saznaš šta se na nebu dešava!“.
  • Tales je govorio da se smrt ne razlikuje od života. Kad mu je prigovoreno pa zašto onda ne umre, rekao je: „Baš zato što nema nikakve razlike.“
  • Kako ćemo živeti najbolje i najpravednije? „Ako ne budemo radili ono što drugima prigovaramo.“
  • Šta je teško?

– Samoga sebe spoznati.

A što je lako?

– Drugome savet davati.

  • „Najbrži je um, jer kroz sve juri.“
Slika karte preuzeta od: Eric Gaba, Wikimedia Commons user Sting, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=7187209
Slika Talesa preuzeta sa: http://www.debatesculturais.com.br/a-busca-pela-geometrizacao-da-materia/

Matematička letnja bajka na Goču

Nakon predivnih 10 dana na Arhimedesovoj zimskoj školi matematike na Tari u februaru ove godine, mislila sam da je to nešto najlepše što jedan nastavnik može da doživi. A onda me je ambijent pitomog Goča ostavio bez daha! Još jednom sam imala čast i privilegiju da budem jedan od nastavnika matematičkog društva Arhimedes, ovog puta na njihovoj letnjoj školi za mlade matematičare. Neobično i sa puno ljubavi uređen ambijen dečijeg letovališta u Stanišincima pružio nam je mogućnost da nastavu matematike držimo u ambijentalnim uslovima, tako da su deca  imala priliku da najveći deo dana provedu u prirodi, družeći se međusobno i sa matematikom. Odavno su Arhimedesove letnje i zimske škole matematike prestale da budu nacionalene i prerasle u internacionalne. Na ovogodišnjem kampu  učestvovalo je 110 dece iz cele Srbije, ali i iz USA ( San Diego), UK (Glasgow) i Norveške (Oslo). Zahvaljujući svom dugogodišnjem predanom radu na popularizaciji matematike, kroz ovakve i slične škole matematike, slobodno se može reći da skoro nema srpskog uspešnog matematičara koji nije prošao Arhimedesovu školu (kako smo čuli, to je oko 90%).

Duga tradicija organizovanja letnjih u zimskih škola (ovo je bila 125.), svakako su garancija da će svako dete, ai nastavnik, koji pođu sa Arhimedesom imati divnu mogućnost za duhovnu i fizičku rekreaciju. Zato nije čudo što ima dece koja su već po osmi put na Arhimedesovom matematičkom kampu. Perfektna organizacija, na čijem čelu stoje profesori Bogoljub Marinković i Dragana Stošić Miljković, i ovog puta je bila u funkciji stvaranja bezbednog boravka dece u prirodi. Svaki trenutak je bio ispunjen, a dnevno su se smenjivale matematičke i sportsko-rekreativnae aktivnosti. Dan bi započinjao jutarnjom gimnastikom,  podizanjem zastave i pevanjem himne. Duh zajedništva nas je, zatim, pratio čitavog dana. Nakon doručka, deca su imala 2 časa matematike u grupama sa svojim vršnjacima. Teme su bile različite, a predavači zanimljivi. Naročito je bilo interesantno, kada su stariji učenici (8. razred osnovne škole i 1. razred srednje škole) dobili priliku da se oprobaju kao predavači i svoje, sada već bogato matematičko i takmičarsko iskustvo, prenesu svojim drugarima. Iskusni nastavnici su ih pratili na tim časovima i zaključili da su se mladi, poučeni iskustvima starijih, pokazali kao odlični predavači. Nastavnici su se trudili da za ovu priliku pripreme neke zanimljive matematičke teme koje nisu obrađivane na dodatnoj nastavi, pa su tako učenici mogli da nauče konstrukcije mnogouglova i Pikovu teremu na kvadratnoj mreži, konveksne firgure i Helijevu teoremu, osnovne pojmove iz verovatnoće, male kombinatorne zadatke, magične kvadrate i još mnogo toga! Nakon prepodnevnih časova, išlo bi se u neku lepu šetnju kroz četinarske i listopadne šume Goča, pod stručnim vođstvom rekreatora Milke Filipović. Posle ručka, malog odmora i užine, usledio bi još jedan čas matematičke radionice, na kome su učenici svakog dana usavršavali svoja znanja iz jedne teme, pa bi se moglo reći da su na kraju škole postali pravi eksperti teme koju su slušali. Sportsko-rekreativne aktivnosti na sportskim terenima za košarku i fudbal bile su prilika za upoznavanje i druženje, ali i mali predah od matematike. Po svom izboru, deca su mogla da se upoznaju i sa igrom ken-ken i da učestvuju u takmičenju. Zainteresovani su pohađali školu šaha ili školi misaone igre go. Ali, svakako najviše zainteresovanih bilo je na kursevima računarstva koje je na divan i topao načina vodila Jelena Hadži-Purić. Njoj su pomagali stariji učenici, već potvrđeni programeri: David, Žarko, Pavle. Mihajlo i Đorđe. U večernjim satima, mlađi učenici su imali različite aktivnosti, radila je i diskoteka, ali se ipak u 9 uredno odlazilo na spavanje, o čemu su brigu vodile 3 divne učiteljice: Gorinka, Rada i Goca. Stariji đaci su se zabavlajli uz gitare i pesme i tako pokazali svoju višestruku nadarenost. Tako osmišljeni program je učinio da je 10 dana letovanja na planini prosto proletelo! Delić ove atmosfere možete čuti u radio emisiji Korak ka nauci novinarke Marije Mišić koja se tri dana družila sa nama.

Osim uživanja u ambijentu, za mene je ovo bila prilika za stručnu i kvalitetnu razmenu sa kolegama i visoko kvalitetan seminar kroz praktičan rad. Veličine srpske matematike: Bogoljub Marinković, Dragan Stošić Miljković, Miloš Arsenović, Milica Prošić, Ružica Petrović i Ćuković Jovan, pokazali su još jednom kako se vole deca i matematika i kako iz te ljubavi nastaju neki lepi matematički trenuci i stvaraju se novi matematički šampioni.  Jednostavni u svojoj veličini, vredni i požrtvovani, ovi ljudi predstavljaju uzor i nama ostalima koji smo imali zadovoljstvo da se sa njima družimo i slušamo njihova predavanja. Nadahnuto smo slušali i bogatili se njihovim iskustvima, rešeni da ih pratimo na putu koji oni crtaju na polju metodike matematike. Inspirisani ovim legendama, svoje lekcije su, takođe uspešno održali: Davidović Dragana, Radibratović Dobrila, Jelena Hadži-Purić (već pomenuta profesorka informatike), učiteljice: Bajić Gorinka, Lazović Radmila i Stanojević Gordana, a evo, već po drugi put, i moja malenkost. Opremljena novim materijalima, zadovoljstvom druženja sa plemenitim i pozitivnim ljudima neiscrpne energije, obogaćena iskustvom podučavanja dece koja su rešila da deo svog raspusta posvete matematici, motivisano nastavljam dalje. Hvala MD Arhimedes što postoji!

Učenički radovi kao odraz našeg zalaganja

 

Резултат слика за đaci kreativno cartoon

Kada se govori o savremenom obrazovanju, često se ističe da je potrebno dati učeniku veću ulogu u procesu učenja i od pasivnog posmatrača ga pretvoriti u aktivnog aktera. To se može postići na razne načine: kreiranjem takvih časova koji aktiviraju ulogu učenika, izvrnutim učionicama, istraživaćkim zadacima i slično. Ovde će biti reči o radovima učenika iz matematike uz navođenje onih koji su se nečim naročitim istakli i pokazuju trud i kreativnost učenika. Često sam u njihovim prezentacijama mogla da vidim svoj odraz i da primetim kako neke prezentacije podsećaju na moje, što je još jedan dokaz koliko su zapravo nastavnici jaki modeli. Začuđujuće je kako su već u petom razredu pokazali da mnogo toga mogu i otkrili mi da imaju znatno veće mogućnosti nego što sam to mogla da vidim na redovnim časovima.

Резултат слика за đaci kreativno cartoon

To im se veoma dopalo, pa su tražili da sličnu aktivnost ponovimo i na kraju 6. razreda. U petom su mogli da biraju način na koji će prezentovati svoj rad (pano, ppt-prezentacija, film), a u šestom je to bilo isključivo u digitalnom obliku. I pravila su bila malo drugačija. Dozvolila sam im da se sami podele u grupe od po troje. Činilo mi se da je to najbolji broj, da bi više članova moglo da dovede do „šlepanja“ nekog člana, dok bi manje grupe značile i preveliki broj grupa, a time i izvesno razvodnjavanje cele priče. Na kraju se svelo na 9 grupa u svakom odeljenju, jer sam ponegde morala da odstupim od predviđenog, uvažavajući njihove potrebe. Teme su mogli da biraju sami:

  1. Celi brojevi su svuda oko nas
  2. Bez racionalnih brojeva se ne može
  3. Procenti i njihova primena
  4. Trougao
  5. Četvorougao – osobine i primena
  6. Ako znam da izračunam površinu ravne figure, mogu da…

Rekla sam im da ću ove godine bodovati sledeće kategorije: samostalnost, tačnost, kreativnost, ravnopravnost u grupi i uloženi trud. Imali su mesec dana da pripreme petnaestominutno izlaganje, a zatim su ti časovi poslužili kao odlična sistematizacija gradiva. Ono što sam videla (i naučila!) kroz ovu aktivnost je:

  • Deca vole da se nađu u ulozi prezentera. Bili su veoma uzbuđeni što su se našli u ovoj ulozi.
  • Timski rad je bio podstrekač i za slabije učenike.
  • Ova aktivnost ih je učila kako da prezentuju svoj rad i ideje, kako da zainteresuju slušaoca, što je po meni veoma bitna veština za njihovu budućnost.
  • Razvija se njihova sigurnost za javne nastupe.

  • Podstiče se kreativnost koja nije motivisana ocenom, već željom da se bude dobar, ali i da se bude drugačiji.
  • Kod onih koji su rad radili uz pomoć računara, znatno se popravlja ta vrsta znanja. Kod učenika koji su rad radili crtežom na panou  (u petom razredu), dolazi do izražaja povezivanje matematike i umetnosti.
  • Zanimljivo je videti kako ostali učenici veoma pažljivo slušaju svoje drugove. Na ovim časovaima uopšte nisam morala da ih umirujem.

  • Kroz diskusiju nakon prezentovanja vežba se pozitivna kritika. Učenici se pozivaju da daju svoje mišljenje o radu, uz obavezu da prvo istaknu pozitivne strane rada, a da zatim da daju sugestiju šta bi trebalo promeniti ili popraviti.

U nastavku ćete moći da pogledate  neke od radova mojih učenika.

Loading...

Kod Andree, Lene i Petre je bilo od svega po malo: igra spojnica, ppt prezentacija, provera znanja. Kao prave nastavnice!

 

A otkrili smo i dobre snimatelje. Njih 4 su snimile filma, a Aleksandra Zec je pokazala da se već dosta razume u montažu!

 

Uz ovu prezentaciju o trouglu, Hristina i Natalija su pripremile asocijacije kao uvodnu aktivnost, a imale su i kostime: majice sa iscrtanim trouglovima!

 

Brojevni izrazi sa racionalnim brojevima

Uvežbavanje brojevnih izraza je važan aspekt u savladavanju matematičkih veština u šestom razredu, a istovremeno i veoma naporan deo za mnoge učenike. Često se dešava da su neki učenici na času demotivisani za klasičan način rada ili time što su im zadaci preteški, ili time što su prelaki, pa prelaze u dosadu. Kako bi se zadovoljile sve kategorije učenika, najbolje je slediti onu poznatu misao čuvenog metodičara matematike Đerđa Polje: za svakog učenika postoji zadataka po meri njegovog nivoa znanja; dajte mu takav zadatak i on će moći da doživi ushićenje uspeha koje nastaje kada se neki zadatak samostalono reši. Iz tog razloga je najbolje, kad god to gradivo dozvoljava, učenike podeliti u ujednačene grupe sličnih nivoa postignuća. Prateći predviđene standarde, zadatke svrstati u bar tri nivoa: osnovni, srednji i napredni (ako postoje i nadareni za matematiku, uvesti i super-napredni nivo). Zadaci treba da imaju navedene konačne rezultate, kako bi učenici mogli da urede samo-proveru. Uloga nastavnika je da ove materijale pripremi, a tokom časa se može posvetiti najslabijim učenicima, a i ostalima prema potrebi. Efekat grupnog rada sprovedenog na ovaj način je uvek veći nego kada se radi frontalno. Učenici brže napreduju, nije im dosadno, a atmosfera je veoma radna. Izrazi sa racionalnim brojevima treba da se uvežbavaju 3-4 časa, pa je ova nastavna jedninica veoma pogodna za grupni rad. Evo mog predloga za zadatke predviđene za ocene 3, 4 i 5:

Na žalost, uvek ima učenika koji nisu baš sasvim „pohvatali“ stvari. Za njih je potrebno malo bolje razložiti gradivo. Za tako nešto su pogodne takozvane „kartice“ koje se izrađuju sa osnovnim informacijama i najjednostavnijim primerima. Prilikom izrade kartica, poželjno je koristiti boje koje će potpomoći vizuelizaciju. Svaka kartica treba da sadrži najmanju moguću jedinicu znanja. Evo nekoliko primera kartica koje sam ja koristila na časovima kada smno uvežbavali brojevne izraze:

Moji učenici uvek izražavaju zadovoljstvo radom na ovako organizovanim časovima, a naredni test je pokazao i da su napredovali u znanju.

Резултат слика за smile image