Objavljeno na sajtu Visuality and Mathematics

Nakon letnje škole u Mađarskoj, inspirisana idejama i odličnim predavačima, moja nastava matematike je obilovala novim idejam. Čak sedam mojih scenaria za časove matematike i matematičke sekcije su  objavljene na sajtu Visuality and Mathematics:

Characteristics of quadrilaterals, Golden Ratio, Inspired by Pythagoras, Operations with degrees, Rectangular coordinate system, Treasure hunt, Prism.

Zainteresovani ih mogu pročitati na:

http://vismath.ektf.hu/index.php?l=en&m=321

Veoma sam ponosna i na sliku koju su moji đaci izradili u okviru primene Pitagorine teoreme, tako da se srpska ćirilica našla na ovom sajtu.

 

 

 

Advertisements

Tribina u regionalnom centru u Nišu

Iskustva sa letnje škole u Mađarskoj su doprinele da umnogome unapredim nastavu matematike. Kako je to izgledalo izložila sam na stručnoj tribini održanoj u Regionalnom centru u Nišu sa temom „Kako smo, rešavajući problem podudarnosti, stigli u Evropu. Nakon povezivanja matematike i umetnosti koju sam sa svojim đacima ostvarila kroz izložbu Pitagora u parku Svetog Save (objavlejno na ovom blogu) i objavljivanja na sajtu Tempus projekta, jedan od radova mojih đaka se pojavio na naslovnoj strani ovog projekta u kategoriji Educational Tools. Na taj način su aktivnosti sa letnje škole, preko škole u kojoj radim, našle svoje značajno mesto u platformi koja se bavi obrazovanjem u Evropskoj uniji. Veoma smo ponosni na to. Srpsku ćirilicu mojih učenika na evropskom sajtu možete videti na sledećoj adresi:

http://vismath.ektf.hu/index.php?l=en&m=321

A evo, kako je to izgledalo na tribini:

DSCN1415

DSCN1418 4-2014-04-29-Mira Rašić Mitić 008 DSCN1411 DSCN1413 DSCN1417

My Lecture in Eger

U okviru letnje škole održan je i tzv. Teachers day. To je bio dan kada smo i mi, polaznici letnje škole, imali čast da izložimo nešto iz svoje prakse. Ja sam odlučila da predstavim čas koji sam osmislila kao ogledni u 6. razredu na temu Podudarnost trouglova. S obzirom da su u publici sedele kolege sa dugogodišnjim iskustvom, ali i buduće kolege, imala sam tremu i bojazan da li će im se moja ideja dopasti. Čestitke koje su mi, nakon predavanja, iskazali, učinile su da istrajem na putu pronalaženja novih metoda u nastavi matematike

.[000684]

Letnja škola matematike u Egeru, Mađarska, 2013. godine

Nezaboravno iskustvo nakon dve nedelje boravka na letnjoj školi u okviru evropskog Tempus projekta. Ovo je bila lavina koja je pokrenula čitav niz događaja u mojoj profesionalnoj karijeri. Otvorili su se novi vidici, upoznala sam kolege iz čitave zemlje i inostranstva koji misle slično, stekla divna prijateljstva i uspostavila dalju saradnju. Oduševljenje i nadahnuće!!!

[000328]

dve diplome Dve diplome

[000684]

Moje predavanje na Teachers day

dodela diploma

Dodela diploma

[000217]

Profesorka Ljiljana Radović

  [000224] [000228] [000243] [000256] [000266] [000279] [000409] [000411] [000412] [000414] [000416] [000417] [000418] [000421] [000423] [000429] [000442] [000455]

Sierpinski carpet Project

Učenici škole „Sveti Sava“ su se priključili Sierpinski Carpet Project. Ovo je bila još jedna prilika da deca uvide lepote matematike na jedan drugačiji način i da upoznaju matematičke zakone  kojima se, u vidu fraktala, služi priroda u svom stvaranju.DSC_3338  DSC_3339 DSC_3354 DSC_3355 DSC_3359 DSC_3369 DSC_3372 DSC_3403

DSC_3387

Nakon izrade 4. iteracije tepiha, 16. aprila smo učestvovali  na sklapanju 6. iteracije. Ovom dogadjaju su se pridružila deca iz čitave Srbije, a NIš je bio njihov domaćin. Hvala Anici Tričković, koordinatoru ovog projekta za Srbiju, koja je odlično organizovala ovu manifestaciju u niškoj hali sportova Čair. Ovom dogadjaju je prisustvovao i profesor José Luis Rodríguez Blancas iz Španije koji je idejni tvorac ovog projekta.

11377147_10204037623609849_6749122636926190659_n 13402_10204037620969783_4673852986716124323_n 19414_10204037623529847_1941648318792583921_n 19521_10204037625809904_4167450700171917350_n 19618_10204037623849855_7049983637646554943_n 10501881_10204037622969833_3252092024047545105_n 11148647_10204037620369768_7314763037168374760_n 11167904_10204037626289916_5928479313612805759_n 11168586_10204037627169938_5435305740837945983_n 11329783_10204037624529872_4168360584044604517_n 11329956_10204037619449745_2362692831616699565_n 11351492_10204037626129912_8632705455684190514_n

 

Podudarnost trouglova

Većina nastavnika koji rade u osnovnoj školi deli mišljenje da je učenicima šestog razreda teško da savladaju podudarnost trouglova, a ni moji đaci nisu bili oduševljeni ovom oblašću. Kako je geometrija pogodna za vizuelizaciju, a u želji da deci pokažem da su ovi pojmovi, zapravo, prirodni i jednostavni, osmislila sam čas na kome se moja uloga predavača svela samo na to da pokažem znak za podudarnost. Naravno, i na ono što sam pripremila kod kuće. Ovaj čas se realizuje kao grupni rad. Grupe su ujednačene po kvalitetu i sadrže po četiri člana. Materijal koji je potreban za ovaj čas je:
• po jedan list sa zadacima za svaku grupu
• koverte sa modelima za 2., 3. i 7. zadatak
Evo kako izgleda materijal koji dobijaju đaci:
[000026]
Na početku časa, a u cilju stvaranja dobre atmosfere i motivacije za rad, grupe se takmiče u rešavalju asocijacije koja je postavljena na tabli.

Zatim započinjemo rad na zadacima. Nakon svakog zadatka grupe iznose zaključke do kojih su došle. Uloga nastavnika na času je samo da odredi vreme potrebno za izradu zadataka. Zadaci glase:
1.Koje duži na slici su jednake? Kako ćeš to utvrditi, ako prilikom merenja ne smeš koristiti lenjir?

Ovo je uvodni zadatak koji navodi na upoređivanje geometrijskih objekata koji su “nepomični“ na papiru i na to da je šestar sprava kojom to upoređivanje možemo najuspešnije izvršiti. Vodimo kratak razgovor o tome šta je preciznije: da premerimo lenjirom ili šestarom. Podsetimo se da se u geometriji za jednake elemente kaže da su podudarni. Zatim im postavim pitanje: “Hajde sada da vidimo ko u grupi ima najdužu olovku?“ Na ovaj način se polako približavamo izometrijskim transformacijama: rotaciji i translaciji, koje će nam biti potrebne za utvrđivanje podudarnosti. Ovo pitanje treba da ih navede da na sličan način to učine u sledećem zadatku.
2.Među datim figurama pronađi podudarne. Kako ćeš proveriti njihovu podudarnost?
[000028]
Sadržaj koverte za drugi zadatak

Uzimajući modele u ruke, đaci su brzo došli do zaključka da su figure podudarne ako se pomeranjem mogu dovesti do poklapanja. Svaka grupa je iznela svoje zaključke, pokazujući figure za koje su utvrdili da su podudarne.
3.Među datim trouglovima pronađi podudarne. Posmatraj te podudarne trouglove. Šta primećuješ?
[000031]
Sadržaj koverte za treći zadatak
Preklapajući trouglove, kako bi ih uporedili, učenici su samostalno došli do zaključka da su trouglovi podudarni ako se poklapaju i da u tom slučaju imaju jednake uglove i stranice. Nakon toga pišemo naslov na tabli i u sveskama i prelazimo na četvrti zadatak.
Interesantno je da ovde napomenem da je dečje razmišljanje ponekad neobično. Pustivši ih da sami zaključuju, postavili su jedni drugima pitanje o kome ja nisam razmišljala: “Kako su ti ta dva trougla podudarna, kad je jedan žut, a drugi crven?“ Sami su raspravljali i uskoro zaključili da je važan oblik, a ne boja.
4.Uzmi bilo koji od trouglova u zadatku 3., pa ga prekopiraj dva puta u svesku. Obeleži nacrtane trouglove. Da li si na taj način nacrtao podudarne trouglove?
5.Zapiši elemente koji su u tim trouglovima jednaki.
Učenici samostalno obeležavaju trouglove i zapisuju jednakost stranica i uglova, nakon čega izveštavaju šta su zaključili Neko od učenika to isto nacrta i na tabli. Konačno i nastavnik dobija reč, pokazuje znak za podudarnost i zapisuje na tabli podudarnost trouglova.
6.Dogovorite se u gupi kako bi ste definisali podudarne trouglove. Ja ću započeti rečenicu: “Dva trougla su podudarna ako…“, a vi je završite.
U svim odeljenjima gde sam realizovala ovaj čas, đaci su samostalno došli do definicije. Iskoristila sam taj trenutak da “podgrejem“ atmosferu čestitajući im na izvedenim zaključcima. Počastila sam ih aplauzom i istakla da su ovo uradili kao pravi naučnici i da, iako nije lako sastaviti definiciju, oni su u tome uspeli! Bili su oduševljeni!
7.Podelite se u svakoj grupi u parove a zatim pročitajte zadatak. Kada rešite zadatak, izvestićete ostale grupe o zaključcima do kojih ste došli.
Oba para imaju zadatak da izračunaju obim trougla. Jedan par ima sve neophodne podatke: zadate su sve stranice, dok drugi par ima poznatu samo jednu stranicu. U tekstu zadatka za drugi par stoji da mogu potražiti pomoć prvog para ako ne mogu da reše zadatak. Očekuje se da će poslušati to uputstvo. Kada pogledaju šta radi prvi par, uočavaju da njihov trougao ima sve elemente, ali, takođe, i da je podudaran trouglu koji oni imaju. Usled toga, ta dva trougla imaju i jednake stranice, pa su im i obimi jednaki. Ovaj zadatak je, zapravo, odgovor na pitanje: zašto učimo podudarnost. O tome smo diskutovali nakon izveštaja grupa.
[000033]

Pre nego što se pređe na evaluaciju časa (8. zadatak), obavezno ih pohvalim i odam priznanje da su na ovom času bili “pravi matematičari“ koji su sami smislili definiciju i uspešno se snašli u poslednjem zadatku u kome je trebalo da primene naučeno.
8.U grupi razmenite utiske o tome šta ste danas naučili i pripremite izveštaje za ostale grupe. Nakon toga, iznesite utiske o ovom času.
Uvek sam dobijala odgovor da je ovo bio “mnogo zanimljiv čas“ i da bi bilo dobro da bude više ovakvih časova. Iskoristila sam priliku i da ih pitam da li misle da je podudarnost teška? Povikali su u glas: “Neeeee, ovo je mnogo prosto!“

Učenje putem istraživanja

U šestom razredu sam održala zanimljiv čas na temu Pravougaonik. Smatrajući da je to delimično poznata lekcija, prepustila sam deci da sami istraže osobine pravougaonika. Podelila sam ih u grupe istraživača i jednu grupu koju sam nazvala ekspertski tim i u kojoj su bili dobri matematičari. Pošto je prethodna lekcija bila: Svojstva paralelograma, svaka grupa je dobila model pravougaonika i paralelograma (bolje da imamo modele, nego da zamišljamo) i kartice na kojima je pisalo koje osobine pravougaonika treba da ispitaju. Sve smo zamislili kao igru u kojoj su učenici detektivi, a „osumnjičeni“ je pravougaonik. Kada istraže sve neophodno, karticu nose na proveru ekspertskom timu koji treba da hipoteze potvrde dokazom. Materijal koji se koristi na času:

Radni listovi za istraživače:
Istračivači (grupe A, B, V, G)
Dobili ste modele dva četvorougla (pravougaonik i paralelogram, jer treba da uspostave analogiju sa prethodnom lekcijom, prim. aut.). Da li znate kako se oni zovu?

Osumnjičeni: PRAVOUGAONIK
Zadatak: Utvrditi u kakvoj je vezi osumnjičeni sa paralelogramom. Da li su u srodstvu?
Posmatrajte ih pažljivo. Kako se definiše paralelogram? Pokušajte da sastavite definiciju pravougaonika. Kada ste postigli dogovor u grupi, popunite i odnesite prvu karticu ekspertskoj grupi (za sve grupe).

Posmatrajte stranice pravougaonika i paralelograma.
Stranice pravougaonika su:
1.____________________________
2.____________________________
Popunite drugu karticu i odnesite ekspertskoj grupi ( grupa A).

Posmatrajte uglove paralelograma i pravougaonika. Zapišite zaključak:
Uglovi paralelograma su:
1.susedni su____________________________
2.naspramni su____________________________
Popunite drugu karticu i odnesite ekspertskoj grupi ( grupa B).

Posmatrajte dijagonale pravougaonika i paralelograma. Zapišite zaključak Dijagonale pravougaonika su:
1._________________________
2._________________________
Popunite drugu karticu i odnesite ekspertskoj grupi ( grupa V).

Na osnovu svih detektivskih provera, zaključili smo da je pravougaonik od paralelograma “nasledio“ sledeće osobine:
1. Naspramne stranice su:___________________ i _______________________.
2.Naspramni uglovi su _________________
3.Susedni uglovi su____________________
4.Dijagonale se ____________________ i _____________________________.
Popunite drugu karticu i odnesite ekspertskoj grupi ( grupa G).
Zaključak: Osumnjičeni pravougaonik jeste/nije direktan potomak paralelograma (zaokruži tačan odgovor).
Osobine koje je sam stekao, tj. one koje ne postoje kod paralelograma su:
_________________________________________________________________.
Nakon potvrde ekspertske grupe da je sve navedeno tačno, unesite zaključke u svoje sveske, a za domaći zadatak i u skicen-blokove.

Radni list za ekspertsku grupu:
Zajednički, u grupi, rešavajte navedene zadatke.
U toku rada obratite pažnju na kartice koje će vam donositi istraživači. One vam mogu biti putokazi za vaš rad, ali ne znači da će sve biti ispravne. Na kraju rada ćete objediniti njihove odgovore i o tome dati izveštaj.

1.Pažljivo posmatrajte pravougaonik i paralelogram. Kako bi ste sastavili definiciju pravougaonika?
2.Uočite stranice pravougaonika. Šta zaključujete? Dokažite.
3.Posmatrajte uglove pravougaonika. Šta zaključujete? Dokažite.
4.Posmatrajte dijagonale pravougaonika i paralelograma. Šta se može reći o dijagonalama pravougaonika? Dokažite.
5.Da li postoji tačka u pravougaoniku koja je podjednako udaljena od sva četiri temena? Da li se oko pravougaonika može opisati krug?
6.Da li postoji tačka u pravougaoniku koja je podjednako udaljena od sve četiri stranice? Da li se u pravougaonik može upisati krug?
7.Da li je pravougaonik osnosimetrična figura? Koliko osa simetrije ima?

Sačinite izveštaj o rezultatima vašeg istraživanja. U izveštaju treba da stoji:
 Definicija pravougaonika – vaša i kako su to uradile grupe
 Zaključci o stranicama pravougaonika sa dokazima
 Zaključci o uglovima pravougaonika sa dokazima
 Zaključci o dijagonalama pravougaonika sa dokazima
 Može li sa opisati ili upisati krug?
 Osna simetričnost pravougaonika.

Ishodi: Atmosfera na času je bila odlična. Svi učenici, bez izuzetka, su veoma ozbiljno shvatili svoje zadatke, te nije izostao „A-ha“ efekat na kraju časa.DSCN9167  DSCN9168 DSCN9171 DSCN9178 DSCN9179 DSCN9192 DSCN9194DSCN9209

DSCN9210

Ekspert