Skup realnih brojeva

Nikada dosta zadataka za vežbanje! Evo materijala za čas sistematizacije gradiva iz teme Skup realnih brojeva. Oznake pored zadataka predstavljaju: O – osnovni nivo; S -srednji nivo; N – napredni nivo. Predviđeno je da učenici rade samostalno, ili u grupi, a svoje zadatke mogu proveriti kroz data rešenja.

Advertisements

Pojam iracionalnog broja

Prezentacija o pojmu iracionalnog broja je namenjena učenicima sedmog razreda koji se prvi put susreću sa ovim pojmom. Zamisao je da se čas organizuje kao „izvrnuta“ učionica, tj. da učenici najpre kod kuće pogledaju prezentaciju i nauče osnovne pojmove, a da se zatim na času radi vežbanje.

Osim kao „izvrnuta“ učionica, materijal se može koristiti i kao prezentacija na času (naravno, uz poštovanje netikecije).

Ukoliko vam se prezentacija dopala i ukoliko je pomogla u učenju, molim vas da ostavite svoj komentar. To bi mi puno značilo, kako bi sledeći post bio bolji. 🙂

Matematika je lukavstvo duha!

Matematika je nauka koja je nastala kao prirodna ljudska potreba da: nešto prebroji, parceliše zemljište, otkrije prirodne zakone…Svestan svoje malenkosti u odnosu na ogromnost i nedokučivost prirode, čovek je morao da nađe način da joj doskoči, da je upozna i objasni. Kako nije mogao da je nadvisi svojom fizičkom snagom, morao je da se dovija i iskoristi snagu i lukavstvo svog uma. Jedan od 7 svetskih mudraca, Tales iz Mileta, imao je to naumu kada je u Egiptu stao oči u oči sa gorostasom poznatim pod imenom Keopsova teorema. Suočen sa izazovom koji je za njega predstavljala nemogućnost da izmeri visinu ovog ogromnog objekta, Tales je došao do teoreme koju učimo u 7. razredu osnovne škole. Divan uvod u ovu teoremu predstavlja romansirana priča Denija Geđa u knjizi Papagajeva teorema. Evo nekih fragmenata te priče:

 

„Oslonjen na brodsku ogradu, Tales je posmatrao kako se udaljava kopno Jonije gde je do tada živeo. Milet je ostao u daljini. Putovao je za Egipat…Pod letnjim vetrovima, koji su duvali jedino leti tokom perioda žege, brod je plovio u pravoj liniji, stigao na domak egipatske obale, uplovio u jezero Mariotis, gde se Tales ukrcao na jednu feluku koja je bila spremn a da krene uz Nil…

Posle nekoliko dana putovanja, prekidanog zastancima u mestima na obali reke, on je opazi. Dizala se usred prostrane zaravni, nedaleko od obale Keopsova piramida! Tales nikad nije video nešto tako impozantno. Dve druge piramide Kefrenova i Mikerinosova uzdizale su se na zaravni; sa strane izgladale su male a ipak…Tokom putovanja Nilom, putnici su ga ipak obavestili. Dimenzije monumenta prevazilazile su sve što je mogao da zamisli. Tales napusti feluku. Što je bio bliži, korak mu je bivao sporiji; kao da je monument, samom svojom masom, uspevao da uspori njegove korake. Poražen, sede. Neki felah, neodređenih godina, čučnu kraj njega. „Znaš li, stranče, koliko mrtvih je stajala ova piramida kojoj se ti, izgleda, diviš?“ „Na hiljade, svakako.“ „Kaži: na desetine hiljada.“ „Na desetine hiljada!“ „Kaži: na stotine hičjada.“ „Na stotine hiljada!“ Tales ga pogleda nepoverljivo. „Još više, možda“, dopunio je felah. „Čemu toliko mrtvih? Za kopanje kanala? Da se zaustavi reka? Podigne most? Sagradi drum? Sazidaju palate? Podigne hram u čast bogova? Otvori rudnik? Nisi ni blizu. Piramidu je podigao faraon Keops s jednim ciljem da primora ljude da shvate sopstvenu malenkost. Zdanje je moralo da premaši svaku granicu da bi nas slomilo: što je gorostasnije, mi smo sitniji. Cilj je postignut. Video sam te da prilaziš i, na tvom licu, video sam kako se ocrtavaju učinci te ogromnosti. Faraon i njegovi arhitekti hteli su da nas prisile da prihvatimo da između ove piramide i nas nema nikakve zajedničke mere!“

Tales je već čuo za takvo razmišljanje o naumu faraona Keopsa, ali nikad tako bestidno i tako precizno iznesena. „Nikakve zajedničke mere!“ Izazivao ga je taj hotimično bezmerni monument. Zdanje sagrađeno, ipak, rukama ljudi, dve hiljade godina već ostajalo je izvan domašaja njihovog saznanja. Kakvi god bili faraonovi ciljevi, bilo je očigledno: visinu piramide bilo je nemoguće izmeriti. Bila je najistkanutija građevina naseljenog sveta i jednina koja nije mogla biti izmerena.

Felah je govorio celu bogovetnu noć. Ono što je ispričao Talesu niko i nikada nije saznao.

Kada je sunce obasjalo horizont, Tales se podigao. Pogledao je svoju senku koja se pružala u smeru zapada; pomislio je da koliko god neki predmet bio mali, uvek postoji osvetljenje koje ga uvećava. Dugo je stajao uspravljen, nepomičan, očiju uprtih u tamnu mrlju koju je njegovo telo bacalo na tle. vide kako se smanjiuje srazmerno uzdizanju sunca na nebu.

Pošto moja ruka nije sposobna da izmeri, to će učiniti moja misao, obećao je sebi. Tales je dugo i usredsređeno posmatrao piramidu; tražio je saveznika ‘po meri’ svog protivnika. Pogled mu je polagano prelazio sa tela na senku, sa senke na telo, potom se zaustavi na piramidi. Najzad, diže oči, sunce je bacalo svoje strašne zrake. Tales je upravo otkrio svog saveznika.

Neka to bude Helije Grka ili bog Ra Egipćana, to sunce koje ne pravi nikakvu razliku među svim stvarima na svetu; ophodi se prema njima na isti način. To će kasnije u Grčkoj, kada je reč o lčjudima, biti nazvano demokratija.

Ophodeći se slično prema sićušnom čoveku i divovskoj piramidi, sunce ustanovljava mogućžnost zajedničke mere.

Tales prodre još dublje u ideju: kako se ja odnosim prema svojoj senci tako se piramida odnosi prema svojoj. Iz toga je izveo sledeći zaključak: u trenutku kada moja senka bude jednaka sa mojim stasom, senka piramide biće jednaka sa svojom visinom! Eto, ideja je nađena. Trebalo je samo još sprovesti je u delo.

Tales nije mogao sam da izvede operaciju, Za nju je bilo potrebno dvoje. Felah je prihvatio da mu pomogne. Možda se doista tako desilo? Ko će to znati?

Sutradan u zoru felah se uputi prema monumentu i sede u ogromnu piramidinu senku. Tales u pesku ocrta krug sopstvenog stasa, stade u njegov centar i ispravi se do kraja. Zatim se usredsredi na vrh svoje senke.

Kada je ova dodirnula kružnicu, naime kada se dužina senke poklopila sa veličinom njegovog stasa, viknuo je prema dogovoru. Felah je tada pojurio i zabo kolac na sam vrh piramidine senke. Tales je potrčao do kolca.

Zajedno, ne prozborivši ni reč, uz pomoć dobro zategnutog konopca, izmerili su rastojanje između kolca i osnove piramide. Kad su izračunali dužinu senke, znali su visinu piramide.

Pesak se dizao pod njihovim koracima, vetar je počeo da duva s juga. Jonjanin i Egipćanin išli su prema obali gde je, u taj čas, pristajala jedna feluka. Vršak piramide iščezao je iz njihovih umornih očiju. Tales skoči u feluku, Na obali, felah se osmehivao. Feluka se udalji.

Tales je bio ponosan. Uz felahovu pomoć, smislio je lukavstvo. Vertikala mi je nedostupna? Domoći ću je se horizontalom. Ne mogu da izmerim visinu zato što seže u nebeske visine? Izmeriću njenu senku prućenu po tlu. Pomoću ‘malog’ izmerići ‘veliko’. Pomoću ‘dostupnog’ izmeriću ‘nedostupno’. Pomoću ‘bliskog’ izmeriću ‘daleko’.

Matematika je lukavstvo duha.“ 

(Tekst je preuzet iz knjige Papagajeva teorema, autor Deni Geđ, izdavać Geopolitika, Beograd, 2002.)

A evo kako u školi učimo ovu teoremu:

Tales iz Mileta

Резултат слика за tales

Tales iz Mileta je prvi Grčki filozof, naučnik, matematičar, državnik ali je po zanimanju bio inženjer. Smatran je za najobrazovanijeg čoveka tog vremena pa je poznat i kao prvi od 7 mudracaRođen je u Miletu koji se nalazio na zapadnoj obali današnje Turske.

 

Živeo je  u periodu od 625 – 547. god. p. n. e. Ono najvažnije što mu matematičari pripisuju, jeste činjenica da je Tales prvi dao logičke temelje dokazivanju teorema. Drugim riječima, Tales je prvi naglasio da nije dovoljno samo opažati pojave, već ih i dokazati. dokazao je  sledeće teoreme:

  • Ugao nad prečnikom kruga je prav.
  • Uglovi na osnovici jednakokrakog trougla su jednaki.
  • Prečnik deli krug na dva jednaka dela.
  • Unakrsni uglovi su jednake.
  • Ako dva trougla imaju jednaka 2 ugla i jedanu stranicu, onda su oni podudarni.

Ove teoreme smo već naučili, a u 7. razredu ćemo saznati i kako se može izmeriti visina nekog objekta uz pomoć senke. I ovo je Talesova zasluga. Do ovog saznanja je došao posmatrajući Keopsovu piramidu. Zadivljen njenom veličinom, kao i nemogućnošću da se izmeri njena visina (139m), došao je na ideju da potraži „saveznika“ u suncu i pomoću štapa i njegove senke je izmerio visinu piramide. Zato se ova teorema koja govori o proporciji dužina naziva Talesova teorema.

Između ostalog, Tales je predvideo pomračenje Sunca koje se dogodilo 584. godine pre nove ere.

Zanimljivosti

  • Zanimala ga je i astronomija. Jednom prilikom je gledajući više u zvezdano nebo nego kuda je hodao, priča se, upao u jamu. Na njegove pozive za pomoć odgovorila je jedna starica koja se tu zatekla i tada ga posavetovala: „Ti ne vidiš ni kuda hodaš, a hoćeš da saznaš šta se na nebu dešava!“.
  • Tales je govorio da se smrt ne razlikuje od života. Kad mu je prigovoreno pa zašto onda ne umre, rekao je: „Baš zato što nema nikakve razlike.“
  • Kako ćemo živeti najbolje i najpravednije? „Ako ne budemo radili ono što drugima prigovaramo.“
  • Šta je teško?

– Samoga sebe spoznati.

A što je lako?

– Drugome savet davati.

  • „Najbrži je um, jer kroz sve juri.“
Slika karte preuzeta od: Eric Gaba, Wikimedia Commons user Sting, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=7187209
Slika Talesa preuzeta sa: http://www.debatesculturais.com.br/a-busca-pela-geometrizacao-da-materia/